• Часть 1
• Часть 2
• Часть 3
• Часть 4

Б5

5.1 Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:                                                             

где - многочлен степени m.

            Тогда частное решение ищется в виде:                                                              

Здесь Q(x)- многочлен той же степени, что и P(x), но с неопределенными коэффициентами, а r – число, показывающее сколько раз число a является корнем характеристического уравнения для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.                   

                                                                           Б6

6.1 Правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:                                  

Здесь Р₁(х) и Р₂(х) – многочлены степени m₁ и m₂ соответственно.

Тогда частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид:                                    

  где число r показывает сколько раз число  является корнем характеристического уравнения для соответствующего однородного уравнения, а Q₁(x) и Q₂(x) – многочлены степени не выше m, где m- большая из степеней m₁ и m₂.

  Заметим, что если правая часть уравнения является комбинацией выражений рассмотренного выше вида, то решение находится как комбинация решений вспомогательных уравнений, каждое из которых имеет правую часть, соответствующую выражению, входящему в комбинацию.

            Т.е. если уравнение имеет вид: , то частное решение этого уравнения будет где  у₁ и у₂ – частные решения вспомогательных уравнений  и

6.2 Предельный признак Даламбера.

              Предельный признак Даламбера является следствием из приведенного выше признака Даламбера.

            Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.  

            Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

              Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

. .                                                                                       Б7

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

              Определение. Совокупность соотношений вида:

где х- независимая переменная, у₁, у₂,…,у_n – искомые функции, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

              Определение. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от неизвестных функций называется нормальной системой дифференциальных уравнений.

            Такая система имеет вид:

                                                                                                       (1)

              Для примера можно сказать, что график решения системы двух дифференциальных уравнений представляет собой интегральную кривую в трехмерном пространстве.

              Теорема. (Теорема Коши). Если в некоторой области (n-1) –мерного пространства функции    …  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по , то для любой точки  этой области существует единственное решение

системы дифференциальных уравнений вида (1), определенное в некоторой окрестности точки х₀ и удовлетворяющее начальным условиям

              Определение. Общим решением системы дифференциальных уравнений вида (1) будет совокупность функций , , … , которые при подстановке в систему (1) обращают ее в тождество

Ряды с неотрицательными членами.

              При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

              Теорема. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены.

  Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.  

Пусть даны два ряда  и   при u_n, v_n ³ 0.

            Теорема. Если u_n £ v_n при любом n, то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

              Доказательство. Обозначим через S_n и s_n частные суммы рядов  и . Т.к. по условию теоремы ряд сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n s_n < M, где М – некоторое число. Но т.к. u_n £ v_n, то S_n £ s_n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если  и существует предел , где h – число, отличное от нуля, то ряды  и ведут одинаково в смысле сходимости.

Признак Коши. (радикальный признак)

              Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство , то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

              Следствие. Если существует предел , то при r<1 ряд сходится, а при r>1 ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

              Если j(х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j(1) + j(2) + …+ j(n) + … =  и несобственный интеграл  одинаковы в смысле сходимости.

             Пример. Ряд  сходится при a>1 и расходится a£1 т.к. соответствующий несобственный интеграл  сходится при a>1 и расходится a£1. Ряд  называется общегармоническим рядом.

              Следствие. Если f(x) и j(х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и  то интегралы  и  ведут себя одинаково в смысле сходимости.

                                                                                     Б8

Знакочередующиеся ряды.

              Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где  

Признак Лейбница.

            Если у знакочередующегося ряда  абсолютные величины u_i убывают  и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

  Пусть - знакопеременный ряд.  

            Признак Даламбера.  Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.  

            Признак Коши.  Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.  

Пример. Разложить в ряд функцию при помощи интегрирования.

            При  получаем по приведенной выше формуле:

Разложение в ряд функции  может быть легко найдено способом алгебраического деления аналогично рассмотренному выше примеру.

Тогда получаем:

Окончательно получим:

ДАЛЬШЕ >>